前言
今天聊一个比较严肃的话题，和身边的人交流很多，听过很多关于哥德尔不完全定理的过度解读。学一个东西不会不要紧，最怕的就是一知半解，只学了前半段不了解后半段，所以有时候理解会和作者原意差很远。哥德尔是一个数学家，哥德尔不完全定理也是关于数学方面的定理，我要讲的不是数学，我是尽量给你一个未必准确但是简明的解释，让你通过这个定理对世界有一个深刻的理解。
正文
数学家研究问题的方法是通过逻辑证明出来的，这个和科学家通过观察世界总结规律的方法有着本质的区别。什么意思？比如你考察几个直角三角形，发现他们的直角边的平方和都正好等于斜边的平方，那你能据此就认为这是直角三角形的普遍性吗？不能。你必须通过严格的数学推导证明这个性质，证明了，这个才能称为勾股定理。
问题来了，那证明这个定理的依据是什么呢？有的是已经被别人证明过的定理。那最初的定理是从哪里来的？最初的定理不叫定理，叫公理。公理就是逻辑极点，不需要证明的，是人们普遍认可的东西。比如常见的两点之间只能有一条直线，这就是一条公理。
数学家先认可几条公理，然后在公理的基础上证明各种定理，数学理论大厦就此建立起来。比如我们初中学的欧氏几何，总共才五条公理。决定整个几何学大厦的不是那些定理，而是这五条公理。在初中的时候，我们为了证明一个结论，往往会巧妙构思，而且有时候还比较难。
在20世纪初的时候，有一些数学家想找到一个机械的方法，从最基本的数学公理出发，自动证明所有的数学定理。当时的数学家主要考虑的是有关自然数的理论体系。数学家经过一番努力，貌似有了一些进展。但是在1931年的一个会议上，25岁的哥德尔做了一个报告，说他证明了一个有关自然数公理系统的定理。哥德尔证明了，在自然数的公理系统中，不但你想要的那种机械化的证明不存在，而且对有些命题来说，连证明本身都不存在。这个就是著名的哥德尔不完全定理。什么意思？用大白话说，只要自然数的公理系统只有有限条公理，那就一定存在一些命题，你既不能说它对，也不能说它错。也就是自然数的公理系统是不完全的。
请注意上面所说的哥德尔不完全定理是有条件的。很多人把哥德尔不完全定理做引申，认为哥德尔证明了一切有限的公理系统都是不完备的。这个就错了，哥德尔不完全定理只限于自然数系统。事实上，有一个数学家在1948年就证明了如果一个封闭的实数系统，那它就有可能是完备的和自洽的。比如欧氏几何就是一个关于实数的系统，塔斯基就已经证明欧氏几何系统是完备和自洽的。因此不要滥用哥德尔不完全定理。
哥德尔不完全定理的确说了，对自然数这个领域来说，你不能从有限的几个公理出发推导出整个自然数论系统大厦。自然数的世界里永远有新东西等着你。
启示
所有可数的系统都等价于自然数系统。那依照哥德尔不完全定理，一个可数的自己，是说明不了自己的。比如某些人迷信炒股宝典，总希望有一个方法，对照方法操作就能在股市上赚钱。宝典上说该做的你就做，不该做的你就不做。如果是哥德尔，他会说总有一些事情，是你的宝典里面没办法判断它对和错的。有时候你得跳出宝典之外，才能判断它对不对。
哥德尔不完全定理给学术界开了脑洞。后来有人证明了一个类似的理论，说任何一个可以写下来的语言系统，总会有些语句，你用这个语言本身无法判断对和错，你必须跳出这个语言才能判断。也就是说，如果你的全部思考被限制在一种语言里，有些事情对你来说永远不知道怎么做决定。你得跳出这个语言才行，得有一些在这个语言之外的意思才行。
从计算机的视角看，计算机系统本质上是一个可数的系统，符合哥德尔不完备定理的条件。依照哥德尔不完全定理，在这样的封闭系统内，总有一些语句是这个系统无法判断对错的。如果真实的世界是数字的，我们的大脑都是计算机，那迟早有一天，人类会对这个系统能想明白的全想明白了，剩下的都是永远不可能想明白的。从那天起，人类将浑浑噩噩的活着。
如果真实的世界不是可数的，是实数，人脑不是计算机，那我们就有可能随时跳出任何能写成文字的认知系统，我们永远都有一个只可意会不可言传的思路。人类可以不断跳出旧系统，探索新知识，发明新语言，建立新系统，科学家可以永远琢磨新的物理定律，艺术家可以永远创造新意境，工程师永远可以发明新模型。
